И. Рубанов

Есеп №1. Үстелде 0-ден 6-ға дейінгі цифрасы бар 7 карта бар. Екі ойыншы кезектесіп бір картадан алады. Қай ойыншы бірінші болып өзінің картасынан 17-ге бөлінетін сан құрса, сол ойыншы ұтады. Дұрыс ойында кім ұтады — бастайтын ойыншы ма немесе оның қарсыласы ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №2. Үстел үстінде жаңғақ саны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және 10 болатын 10 үйір жатыр. Екі ойыншы кезектесіп бір жаңғақтан алады. Үстелде 3 жаңғақ қалғанда ойын бітеді. Егер ол бір жаңғақты 3 үйір болса, ойында екінші жүрген ойыншы ұтады, кері жағдайда ойынды бастаған ойыншы ұтады. Қарсыласы қалай ойнамаса да, ойынды қай ойыншы ұтуы мүмкін? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №3. Бір күні барон Мюнхгаузен қыдырудан келіп, жарты жолды 5 км/сағ жылдамдықпен, ал қыдыруға кеткен жарты уақытты 6 км/сағ жылдамдықпен жүрдім депті. Ол қателесіп кеткен жоқ па? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Тақтада үш төртбұрыш салынған.
Петя: «Тақтада кем дегенде екі трапеция салынған» деді.
Вася: «Тақтада кем дегенде екі тіктөртбұрыш салынған» деді.
Коля: «Тақтада кем дегенде екі ромб салынған» деді.
Екі баланың рас айтқаны және бір баланың өтірік айтқаны белгілі. Салынған төртбұрыштар ішінде квадрат бар екенін дәлелдеңіз. (Трапеция — екі қабырғасы параллель және қалған қабырғалары параллель емес төртбұрыш.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5. Тақтада 1 саны жазылған. Егер тақтада $a$ саны жазылса, онда оны $a+d$ түріндегі кез келген санмен алмастыруға болады, мұндағы $d$ саны $a$ санымен өзара жай және $10 \leq d \leq 20$. Тақтада осындай бірнеше операция қолданып $18!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 18$ санын алуға болады ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №6. Төрт әртүрлі бүтін сан үшін олардың өзара қосындысы мен өзара көбейтінділерін тапты. Алынған қосындылар мен көбейтінділерді тақтаға жазды. Тақтада кемінде қанша әртүрлі сан болу мүмкін? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. Әр 10 гномның әрқайсысы — әрқашан да шындықты айтатын сері, немесе әрқашан да өтірік айтатын өтірікші. Және де гномдардың кемінде біреуі — сері.
Гномдар бір сабқа тізілгеннен кейін олардың тоғызы: «Тізілгендердің ішінде менің сол жағымда тұрғандардың ішінде сері бар», ал қалған гном, Глоин: «Тізілгендердің ішінде менің оң жағымда тұрғандардың ішінде сері бар», -- деді.
Глоин шын айтты ма алде өтірік айтты ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №8. Шеңбер бойында 2013 нүкте белгілеп, оның әрқайсысын оған көрші көрші екі нүктемен қосқан. Және де шеңбердің центрін белгілеп, оны әр белгіленген нүктемен қосқан. Әр қызыл түсті нүкте үшін, оған қосылған көк түсті нүктелер саны тақ, ал әр көк түсті нүкте үшін, оған қосылған көк түсті нүкте саны жұп болатындай, осы нүктелердің 1007-сін қызыл, 1007-сін көк түске бояп шығуға болады ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9. Кез келген екеуінің көбейтіндісі, сол екеуінің қосындысына бөлінетіндей қос-қостан өзара тең емес 2014 сан берілген. Осы сандардың ешқайсысы қос-қостан өзара тең емес алты жай сандардың көбейтіндісіне тең бола алмайтынын дәлелде. ( И. Рубанов, С. Берлов, В. Сендеров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Қатар келген 10 үштаңбалы натурал сандардың көбейтіндісін жай сандарға жіктеуге кіретін әр түрлі жай сандар саны 23-тен аспайтынын дәлелде. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №11. Тақтада төрт сан жазылған, олардың ешқайсысы нөлге тең емес. Егер әр санды қалған үш санның қосындысына көбейтсе, онда барлық төрт жағдайда да бірдей нәтиже шығады. Тақтадағы жазылған сандардың квадраттары тең екенін дәлелдеңіздер. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №12. Үстелде ұзындығы 10 см болатын таяқ жатыр. Петя оны екі бөлікке бөліп пайда болған екі бөлікті де үстелге қояды. Үстелде жатқан тяқтардың біреуіне Вася да сондай операция қолданады, сосын сондай операцияны Петя да жасайды және т.с.с. кезектесе береді. Петя 18 бөлуден кейін пайда болған барлық таяқшалар 1 см-ден қысқа болғанын қалайды. Ал Вася Петяға кедергі келтіргісі келеді. Қарсыласының ісіне қарамастан, балалардың қайсысында өз мақсатына жетуіне мүмкіндігі бар? ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13. Келесі шарттар орындалатындай 0-ден 9-ға дейінгі цифрлардың әрқайсысына 10 әртүрлі баға беріп шығуға болады ма: біріншісінен басқа келесі санның бағасы алдыңғы сан бағасынан қымбат болатын, 20 қатар келген натурал сандар табылады? Натурал санның бағасы деп, сол санды құрайтын цифрлардың бағаларының қосындысын айтамыз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №14. Жүгіру жолының екі соңы бар. Оның бір соңынан көк майка киген бес, және екінші соңынан қызыл майка киген бес жүгірушілер бір уақытта жүгіре бастайды. Әр жүгірушілердің жылдамдықтары әртүрлі, және 9 км/сағ-тан үлкен және 12 км/сағ-тан кем. Жүгіруші жолдың екінші жағына жеткенде, бұрылып жүгіруді бастаған жерге қарай қайтадан жүгіреді де, сосын жүгіруді бастаған жерге жеткенде жүгіруін аяқтайды. Жүгіру кезінде екі әртүрлі түсті майка киген екі адам кездескен кезде (бетпе-бет немесе біреуі екіншісі қуып жеткенде), бапкер дәптеріне белгі салады (жүгіру кезінде бір нүктеде екіден көп жүгіруші кездеспеген). Ең жылдам жүгіруші жүгіруін аяқтай бергенде бапкер әдәптеріне қанша белгі салады? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №15. $ABC$ үшбұрышының $BD$ биссектрисасы жүргізілген. $DE$ және $DF$ кесінділері сәйкесінше $ABD$ және $CBD$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $EF \parallel AC$ екені белгілі болса, $DEF$ бұрышын табыңыздар. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №16. Бір-біріне тең емес 20-дан аспайтын натурал $a$ және $b$ сандарының барлық жұп-тары үшін Петя тақтаға $y = ax+b$ түзуін сызды (яғни ол $y = x+2$, $\ldots,$ $y = x+20,$ $y = 2x+1,$ $y = 2x+3,$ $\ldots,$ $y = 2x+20,$ $\ldots,$ $y = 3x+1,$ $y = 3x+2,$ $y = 3x+4,$ $\ldots,$ $y = 3x+20,$ $\ldots,$ $y = 20x+1,$ $\ldots,$ $y = 20x+19$ түзулерінің барлығын сызды). Ал Вася сол тақтада, центрі координаттар басында орналасқан, радиусы 1 болатын шеңбер сызды. Петя сызған түзулердің қаншасы Вася сызған шеңберді қияды? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №17. Қабырғасы 100 болатын квадратты кіші квадраттарға бөлген (кіші квадраттар тең болуы міндетті емес). Кіші квадраттардың қабырғалары 10-нан кіші және бас-тапқы квадраттың қабырғаларына параллель. Кіші квадраттардың периметрлері-нің қосындылары 4400-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №18. Бес карточканың әрқайсысында қандай-да бір сан жазылған. Карточкалар үс-телде сандарымен төмен қаратылып жатыр. Егер біз бір рубль беріп, кез келген үш карточканы көрсетсек, бізге сол карточкалардағы жазылған сандардың қосын-дысын айтады. Ең аз дегенде қанша ақша төлеу арқылы, біз карточкалардағы бес сандардың қосындысын кепілді түрде таба аламыз? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №19. Ішінде түрлі-түсті шарлар бар қораптың ішінде не бар екенін төрт бала қарады. Ішінде қандай түсті шарлар жатыр деген сұраққа олар былай жауап берді. Петя: «Қызыл, көк және жасыл шарлар». Вася: «Қызыл, көк және сары шарлар». Коля: «Қызыл, сары және жасыл шарлар». Миша: «Сары, жасыл және көк шарлар». Төрт ұлдың әрқайсысы бір түсті дұрыс, қалған екі түсті қате айтуы мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №20. Боря тоғыз кесінді сызған: олардың үшеуі – $ABC$ үшбұрышының биіктіктеріне тең, тағы үшеуі биссектрисаларына, ал қалған үшеуі – медианаларына тең. Боря қандай болмасын тоғыз кесінді сызбаса да, сол сызған кесіндінің кез келгені үшін, қалған сегіз кесіндінің ішінде, оған тең кесінді бар екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №21. Шеңбердің бойына қызыл қарындашпен 100-ден кіші болатын әртүрлі 49 натурал сан жазды. Сосын әрбір көрші екі қызыл санның арасына көк түспен сол екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін жазды. Пайда болған көк сандардың барлығы әртүрлі болуы мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №22. В полдень Вася положил на стол 10 вырезанных из бумаги выпуклых десятиугольников. Затем он время от времени брал ножницы, разрезал по прямой один из лежащих на столе многоугольников на два и клал оба получившихся куска назад на стол. К полуночи Вася проделал такую операцию 51 раз. Докажите, что в полночь среди лежащих на столе многоугольников был треугольник или четырёхугольник. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №23. Өлшемі $70\times 70$ тор тақтадан 2018 шаршыны кесіп алып тастаған. Тақтай 2018-ден көп емес бөліктерге бөлінгенін дәлелдеңіз. Төбе нүктелерден басқа ортақ нүктелері жоқ бөліктер, байланыспаған деп аталады. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №24. Қасында екі үй тұрған түзу жолдың бойымен машина тұрақты жылдамдықпен бір бағытта жүріп келеді. Талтүсте машина аталған үйлерге жетпеді және машина мен осы үйлерге дейінгі арақашықтықтардың қосындысы 10 км болды. 10 минуттан кейін машина үйлердің жанынан өтіп кетті, осы кезде машина мен осы үйлерге дейінгі арақашықтықтардың қосындысы тағы да 10 км болды. Машинаның жылдамдығын тап. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №25. $5\times 5$ тақтаның клеткаларына 0 немесе 1 сандарын жазуға болады (әр клеткада дәл бір ғана сан жазылуы керек). Натурал $k$ санының қандай ең үлкен мәнінде, келесі шарттар орындалатындай $k$ қатар мен $k$ баған табылады: осы $k$ қатардың әрқайсысында сандардың қосындысы 3-тен кем емес, осы $k$ бағанның әрқайсысында сандардың қосындысы 2-ден артық емес? ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №26. $n^7+n^6+n^5+1$ санының дәл үш натурал бөлгіштері болатындай, барлық натурал $n$ сандарын табыңыздар. ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №27. Ені бір тор болатын, ал ұзындығы екі клеткадан кем болмайтын тіктөртбұрыштан және осы тіктөртбұрыштың шеткі клеткалардың біреуіне жанынан қосылатын клеткадан құралған фигураны «етік» деп атаймыз (5 тордан құралған «етіктің» мысалы суретте келтірілген, осы суретті айналдыру арқылы алынған басқа фигуралар да «етік» болып есептеледі). Қандай-да бір квадратты өзара тең емес бірнеше «етіктерге» бөлуге болады ма? Айта кетсек, бірінің үстіне бірін беттестіруге болатын фигуралар ғана өзара тең болады.

( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №28. Вася, Петя және Коля бір сыныпта оқиды. Вася кез-келген сұраққа өтірік жауап береді, Петя кезекпен өтірік сосын шындықты айтады, ал Коля әр үшінші сұраққа өтірік жауап береді, ал басқа жағдайларда шындықты айтады. Бір күні олардың әрқайсысына алты рет қатарынан «Сендердің сыныптарыңда қанша адам оқиды?» деген сұрақ қойылды. Сонда бес рет: «Жиырма бес», алты рет: «Жиырма алты» және жеті рет: «Жиырма жеті» деп жауап қайтарылды. Осы берілген жауаптардың көмегі арқылы сыныпта шын мәнінде қанша оқушы оқитынын анықтау мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №29. Петя 8 әртүрлі сандарды ойластырды, сосын екі-екіден сандарды алып, үлкенін кішісіне бөле бастады. Ол 28 мүмкін бөліндінің 22-ін тапты, сонда сол 22 бөлінділердің әрқайсысы 2-нің натурал дәрежесі болып шыққан. Қалған 6 бөлінділердің де әрқайсысы 2-нің натурал дәрежесі екенін дәлелдеңіз. (2-нің натурал дәрежесі дегеніміз, $2^n$ түріндегі сан, бұл жерде $n$ — натурал сан.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №30. Шеңберде, шеңберді тең доғаларға бөлетін 48 нүкте белгіленген. Екі ойыншы келесі ойын ойнайды, және олар кезектесіп жүреді. Бір жүрісте белгіленген нүктелердің ішінен дұрыс үшбұрыштың төбелері болатын үш нүктені, немесе квадраттың төбелері болатын төрт нүктені өшіруге болады. Қарсыластың әрекеттеріне қарамастан, дұрыс ойында кім жеңіске жетеді? Ойынды бірінші бастайтын ойыншы ма, әлде екінші жүрісті жүретін ойыншы ма? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №31. Нөлге тең емес екі сан берілген (олардың бүтін болуы міндетті емес). Егер олардың әрқайсысын 1-ге ұлғайтса, онда олардың көбейтіндісі екі есе өседі. Ал егер әр санды квадраттап, сосын 1-ге кемітсе, онда олардың көбейтіндісі қалай өзгереді? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №32. $y = ax+c,$ $y = ax+d,$ $y = bx+e,$ $y = bx+f$ сызықтың функциялары $P$ квадратының төбелерінде қиылысады. $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f)$ нүктелері $P$-ға тең квадраттың төбелерінде орналасуы мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №33. Петя 4-тен артық емес натурал сан жасырды. Вася кез келген бір немесе бірнеше сан көрсетіп, Петя-дан Петя жасырған сан сол сандардың ішінде бар жоғын сұрай алады. Мысалға: «Жасырған сан 2-ге тең бе?», немесе «Жасырған сан 2 және 3 сандарының арасында бар ма?». Петя «Ия» немесе «Жоқ» деген жауап қайтаруы керек. Петя жауап бергенде өтірік немесе шын жауап бере алады. Бірақ ол 3-тен көп рет өтірік айта алмайды. Вася 11 сұрақ қою арқылы Петя жасырған санды қалай таба алады? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №34. $n!$ факториалы деп, $1$-ден $n$-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісін айтамыз (мысалға, $1! = 1,$ ал $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5).$ $1!,$ $2!,$ $\ldots,$ $99!,$ $100!$ сандарының (барлығы 100 сан) біреуін өшіріп тастағанда, қалған сандардың көбейтіндісі натурал санның кубы бола алады ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №35. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $BC$ қабырғаларының сәйкесінше $B$ және $C$ нүктелерінен ары созындыларында $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $M$ және $N$ сәйкесінше $AE$ және $DC$-ның орталары. $MN > AD/2$ екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №36. Васяның ақшасы таусылғандықтан, ол жұмысқа орналасты. Келісімшарт бойынша ол демалыссыз істеді және әр күндік жұмыс үшін 100 теңге алды. Бірақ алынған ақшаны Вася бірден жұмсай бастады. Жұмыстың бірінші күнінде ол 1 теңге жұмсады, ал әр келесі күні ол алдыңғы күнге қарағанда 1 теңге артық жұмсап отырды. Жұмыстың қай күнінің соңында Вася тағы ақшасыз қалды? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №37. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы 45 градусқа тең. Осы үшбұрыштың периметрі $B $ және $C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің екі еселенген қосындысынан кіші екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №38. Үстелде 101 үйінді жатыр. Әр үйіндіде дәл 101 сіріңке бар. Бір жүрісте кез-келген үйіндіден бір сіріңке алынады. Екі ойыншы кезектесіп жүреді. Егер 10000-ші жүрістен кешіктірмей, қандай да бір үйіндіден соңғы сіріңке алынса, сол сіріңкені алған адам жеңеді, ал кері жағдайда — тең ойын болып саналады. Екі ойыншының қандай да бірі қарсыластың ойынына қарамастан, өзіне кепілді түрде жеңісті қамтамасыз ете алады ма? Егер қамтамасыз ете алса, қай ойыншы? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №39. Мұғалім тақтаға 10 бүтін теріс сандарды жазды. Вася осы сандарды дәптерге көшіріп жазды, содан кейін дәптерге барлық мүмкін жұптардың көбейтіндісін, сосын барлық мүмкін үштіктерінің көбейтіндісін, сосын барлық мүмкін төрттіктердің көбейтіндісін, $\ldots$, сосын барлық мүмкін тоғыздықтардың көбейтіндісін, ақырында барлық он санның көбейтіндісін дәптеріне көшіріп жазды. Вася жазған барлық сандардың қосындысы теріс сан болып шыққан. Сол қосынды нешеге тең бола алады? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №40. Алты таңбалы санның цифрларының қосындысын сол санның цифрларының көбейтіндісіне көбейткенде, 390 саны шыққан. Осындай алты таңбалы санға ең болмағанда бір мысал келтіріңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №41. Петя мен Вася дөңгелек айналым жолмен сағат тіліне қарсы бағытта бір нүктеден және бір уақытта жүгіре бастайды. Олардың жылдамдықтары бірқалыпты, бірақ Васяның жылдамдығы Петянікінен екі есе көп. Петя әрдайым сағат тіліне қарсы бағытта жүреді. Ал Вася, егер ол бір бағытта жарты немесе жартыдан көп айналым жүгіріп өтсе, жүгіру бағытын өзгерте алады. Петя бірінші айналымды жүгіру кезінде, Вася, старт мезетін санамаған кезде, Петямен үш рет кездесе (тең болып немесе озып кете) алатынын көрсетіңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №42. $\text{ЕҮОБ}(a, b)+\text{ЕКОЕ}(a, b) = ab/2$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $a$ және $b$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №43. Өлшемі $8\times 8$ шахмат тақтасында клеткалар бойынша бірін-бірі жаппайтын, 2 клеткадан тұратын 17 тіктөртбұрыш салынған. Келесі шарттар орындалатындай, ортақ қабырғасы бар екі клетка табылатынын дәлелдеңіз: осы екі клетканың біреуі салынған тіктөртбұрышың біреуінде жатыр, ал екіншісі — салынған тіктөртбұрыштың екіншісінде жатыр. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №44. $y = k_1x+b_1,$ $y = k_2x+b_2,$ $y = k_3x+b_3$ функцияларының графиктері теңқабырғалы үшбұрыштың қабырғаларының созындылары болып табылады. $k_1,$ $k_2,$ $k_3$ сандарының ішінде 1/2-ден үлкен сан бар екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №45. Игорь клетка қабырғасы 1 см-ге тең торлы қағазда архипелаг суретін салды. Архипелаг құрайтын әр арал тор клеткаларынан құралған көпбұрыш пішінді қабылдайды, және ешқандай екі аралдың ортақ нүктесі жоқ. Барлық аралдардың жағалау сызығының жалпы ұзындығының қосындысының олардың жалпы аудандарының қосындысының қатынасы
а) 5-ке;
б) 3,99-ға тең бола ала ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №46. Таня мен Маша кезектесіп тақтаға 1000-нан аспайтын және 13-ке тең емес натурал сандарды жазады. Ойынды Таня бастайды. Кімнің жүрісінен кейн тақтада бірінші рет айырмалары 0-ге немесе 17-ге тең екі сан табылса, онда сол ойыншы ұтылады. Дұрыс ойында қай қыз ұтады? Ол ұту үшін қалай ойнау керек? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №47. $y = ax+b,$ $y = bx+c,$ $y = cx+d,$ $y = dx+a$ түзулері квадрат қабырғаларын шектейді. Осы квадраттың ауданы нешеге тең болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайларды көрсетіңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №48. В зашифрованном равенстве АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ = ААБ цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №49. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD = AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE = AC$. Какой отрезок длиннее — $EC$ или $AC?$ ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №50. Найдите все такие тройки положительных чисел $a, b, c,$ что $a+b+c = ab+ac+bc = abc.$ ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №51. Стороны 100 одинаковых равносторонних треугольников покрашены в 150 цветов так, что в каждый цвет покрашены ровно две стороны. Если приложить два треугольника одноцветными сторонами, то полученный ромб будем называть хорошим. Петя хочет сложить из этих треугольников как можно больше хороших ромбов, причем каждый треугольник должен входить не более, чем в один ромб. Какое наибольшее количество хороших ромбов может гарантировать себе Петя независимо от способа раскраски треугольников? ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №52. В 9:00 в путь отправился пешеход. Через час вслед ему из того же начального пункта выехал велосипедист. В 10:30 он догнал пешехода и поехал дальше, но через некоторое время велосипед сломался. Закончив ремонт, велосипедист поехал вслед пешеходу дальше и в 13:00 снова догнал его. Сколько минут занял ремонт? (Скорость пешехода постоянна, и он двигался без остановок, скорость велосипедиста тоже постоянна, и он двигался с единственным перерывом на ремонт.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №53. Өлшемі $8\times 8$ тор тақтасын аудандары әр түрлі болатын 10 тіктөртбұрышқа кесуге бола ма? Кесу кезінде қалдық қалмауы керек. Кесу тек тор бойымен ғана орындалу керек. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №54. Диагональ ұзындықтары ең көп дегенде екі түрлі мән қабылдайтындай дөңес $n$-бұрыш үшін ең үлкен $n$ қандай? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №55. Можно ли пронумеровать вершины, рёбра и грани куба различными целыми числами от $-12$ до 13 так, чтобы номер каждой вершины равнялся сумме номеров сходящихся в ней рёбер, а номер каждой грани равнялся сумме номеров ограничивающих её рёбер? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №56. Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\frac{2022\cdot 2021}{2},$ существуют такие 2022 числа, что все их $\frac{2022\cdot 2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных. (И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов) ( И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №57. $2012 \times 2012$ тақтасының әр шаршысына нөл немесе бір саны жазылған, және де әр қатарда да, бағанда да нөл саны да, бір саны да бар. Екі қатардан және екі бағаннан құралған тіктөртбұрыштың бір диагоналінің соңында нөлдер, екіншісінде бірліктер болатындай екі қатар мен екі бағана табылатының дәлелде. ( И. Рубанов, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №58. Петя и Вася пробежали одну и ту же дистанцию. Вася бежал вдвое быстрее Пети, но стартовал на минуту позже, и Петя пришёл к финишу первым. Докажите, что Петя пробежал дистанцию меньше чем за две минуты. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №59. Два числа таковы, что их сумма, сумма их квадратов и сумма их кубов равны одному и тому же числу $m$. Докажите, что сумма четвёртых степеней этих чисел тоже равна $m$. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №60. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BE$ и серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$. Оказалось, что $BE = EC$, а прямая $m$ пересекает сторону $BC$. Докажите, что угол $C$ меньше 36 градусов. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №61. Из нечётных натуральных чисел от 1 до 47 составили 12 дробей, меньших 1, использовав каждое число по одному разу. Получившиеся дроби разбили на группы равных между собой. Какое наименьшее количество групп могло получиться? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №62. Келесі шартты қанағаттандыратын әртүрлі төрт сан жаз (сандар бүтін болуы міндетті емес): егер $x$ саны жазылғандардың ішінде болса, онда $x-1$ немесе $6x-1$ сандарының кемінде біреуі жазылғандардың қатарында бар. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №63. Дөңес $ABCD$ төртбұрышына $BC$ кесіндісінде $E$ нүктесі алынған. $AE$ кесіндісі төртбұрышты аудандары тең екі бөлікке бөледі. Төртбұрыштың қай төбесі $AE$ түзуінен ең алыс орналасқан? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №64. Петя мен Вася келесі ойын ойнайды. Бастапқыда 2022 қораптарының әрқайсысында бір сіріңкеден бар. Әр жүрісте қандай да бір бос емес қораптың ішіндегі барлық сіріңкелерді қандай да бір бос емес басқа қораптың ішіне салуға рұқсат. Балалар кезекпен жүреді, ойынды Петя бастайды. Егер ойыншы бірінші болып қандай бір қорапқа кем дегенде 1011 сіріңке жинаса, сол ойыншы жеңімпаз болып саналады. Дұрыс ойында кім жеңеді? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(12) олимпиада

Есеп №65. Вася 100-ге дейінгі барлық натурал сандарды шеңбер бойына қандай да бір ретпен орналастырды. Егер шеңбердегі қандай да бір санның сағат тілі бағытымен орналасқан көршісі сағат тілі бағытына қарсы орналасқан көршісінен үлкен болса, сол санды лайықты орналасқан деп сан атаймыз. Шеңбер бойында кем дегенде 99 сан лайықты орналасуы мүмкін ба? ( И. Рубанов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №66. Өлшемі $100\times 100$ тақтаның клеткаларына 1975 ладяны қойып шыққан (әр ладья бір клеткада тұр, әртүрлі ладьялар әртүрлі клеткаларда тұр). Бірін-бірі ұратын ең көп дегенде қанша ладья жұптары болуы мүмкін? Ладья фигурасы тік немесе көлденең бағытта кез келген клетка санына ұрады, бірақ жолында бөгет жасап тұрған ладьяны өтіп, одан кейінгі ладьяны ұра алмайды. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №67. Жаттығуда спортшы 60 километрді 3,5 сағатта жүріп өтті. Ол алдымен 8 км/сағ жылдамдықпен жүзді, содан кейін 16 км/сағ жылдамдықпен жүгірді, содан кейін велосипедпен 24 км/сағ жылдамдықпен жүрді. Уақыт бойынша қай аралық ұзағырақ болған: жүзген бе әлде велосипедпен жүрген аралық па? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №68. $ABC$ үшбұрышының $B$ бұрышы 120 градустан кіші, ал $BD$ медианасы $AB$ қабырғасының жартысынан қысқа. Осы медиана $BC$ қабырғасының жартысынан ұзын екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №69. Ешқандай екеуі өзара тең емес, және олардың кез келген 1012-нің көбейтіндісі қалған 1010-ның көбейтіндісіне бөлінетіндей, 2022 натурал сандар табылады ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №70. Өлшемі $10\times 10$ болатын ақ тақтаның 84 ұяшығы қара түске боялған. Ең аз дегенде үш қара ұяшықтан құралған қанша «бұрыш» фигурасы пайда болуы мүмкін? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №71. Маша төрт әртүрлі оң сан алып, екі-екіден алған барлық мүмкін жұптардағы сандарды көбейтіп, алты көбейтіндіні өсу ретімен бір қатарға жазды. Осы қатардағы көрші сандар арасындағы барлық бес айырмашылық бірдей болуы мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №72. Екі жүгіруші $ABCD$ шаршысының, сәйкесінше, $AC$ және $BD$ диагональдары бойымен бірдей тұрақты жылдамдықпен жүгіреді. Диагоналдың ұшына жеткеннен кейін әр жүгіруші дереу кері бұрылады. Олар диагональдардың кездейсоқ таңдалған екі нүктесінен бір уақытта жүгіруді бастады. Жүгірушілер арасындағы қашықтық шаршы диагоналінің жартысынан кіші болатын cәт табылатынын дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №73. $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ жай сандарының ешқандай екеуі тең емес. 1-ден үлкен натурал $a_1$, $\ldots$, $a_k,$ сандары үшін, $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, ${p_{100}}p_1^3$ сандарының әрқайсысы $a_1$, $\ldots$, $a_k$ сандарының қандай да екеуінің көбейтіндісіне тең екені белгілі. $k \ge 150$ екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №74. Екі өзара тең емес натурал сандар жұбында оның біреуі екіншісіне бөлінсе, ондай жұпты жақсы жұп деп атаймыз. Барлық мүмкін жұптарды жазғанда, олардың арасындағы жақсы жұп саны дәл 101 болатындай, өзара әртүрлі 20 натурал сандарды табыңыз. (Әр жұп тек бір рет жазылады, демек олар қай-таланбауы керек, яғни ${(a, b)}$ және ${(b, a)}$ жұптары бірдей болып есептеледі.)
Тапқан жауапты негіздеуді ұмытпаңыз, яғни сіз тапқан сандар неліктен дәл 101 жақсы жұпты беретінін түсіндіріңіз. Түсіндірмеміз жауаптар есепке алынбайды. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №75. Бес оң санның кубтарының қосындысы олардың квадраттарының қосын-дысынан кіші. Осы бес санның әрқайсысы 2-ден кіші екенін дәлелдеңдер. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №76. 5-тен үлкен натурал $n$ санының қандай мәндерінде өлшемі $n\times n$ болатын ұяшықты шаршыны, кесу кезінде бос ұяшық қалмайтындай етіп, екі ұяшықтан тұратын тіктөртбұрыштарға және бес ұяшықтан тұратын кресттерге бөліп шығуға болады? Кесу кезінде тіктөртбұрыш фигурасы да, крест фигурасы да болуы керек. Оң жақтағы суретте бес ұяшықтан тұратын крест көрсетілген. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №77. Натурал санның соңғы екі цифрын өшіріп, пайда болған санға бастапқы санды қосқан. Пайда болған қосынды $101^{50}-1$ санына тең бола алады ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №78. Петя, Вася және Коля айналма жолымен бір бағытта тұрақты жылдамдықпен жүгірді. Олар жүгіруді бір уақытта және бір нүктеден бастады. Петя бірінші рет Васяны төртінші айналымында (яғни, үш айналымнан артық жүгіріп, төртінші айналымды әлі аяқтамаған кезде), ал Коляны жетінші айналымында басып озды. Коля 10 айналым жасамастан бұрын Васяны (бірінші рет) басып озғанын дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №79. Вася өлшемі $5\times 5$ болатын тақтаның бір ұяшығын көрінбейтін сиямен белгілеп қойды. Тақтадағы бір қатарда немесе бір бағанда орналасқан, қатар келген төрт ұяшықты таңдап, Васядан осы ұяшықтар арасында белгіленген ұяшық бар-жоғын сұрауға рұқсат етіледі. Әрбір келесі сұрақ алдыңғы сұраққа жауап алынғанан кейін қойылады. Белгіленген ұяшықты кепілді түрде анықтау үшін, кемінде неше сұрақ кою қажет? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №80. Үш сан келесі қасиетке ие: кез келген екеуінің қосындысының кубы сол екеуінің кубтарының қосындысына тең. Осы сандардың ішінде 0-ге тең сан бар екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №81. Алтыбұрыштың әр бұрышы 180 градустан кіші және кез келген қатар келген үш төбе арқылы құрастырылған үшбұрыштың ауданы 1-ге тең. Осы алтыбұрыштың ауданы 6-дан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №82. Тек $O$ нүктесінде жалғанған жанатын жүз $OA_1$, $\ldots$, $OA_{100}$ жіптерінен құралған жұлдыз берілген. Әр жіптің жану уақыты оның қай ұшынан жандырылғанына байланысты емес әрі жіптің жану жылдамдығы тұрақты болу міндетті емес. Егер жұлдызды $A_1$ нүктесінде жадырса ол толығымен 201 секундта, $A_2$ нүктесінде жандырса —202 секундта, $\ldots$, $A_{99}$ нүктесінде жандырса —299 секундта жанады. Егер жұлдызды $A_{100}$ нүктесінде жандырса, ол неше уақытта толығымен жанып бітеді? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(5) олимпиада