Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, I тур регионального этапа

Каждый из 10 гномов — либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда врёт, причём хотя бы один из гномов — рыцарь. Все гномы выстроились в шеренгу, после чего девятеро сказали: «Среди стоящих слева от меня есть рыцарь», а оставшийся, Глоин, сказал: «Среди стоящих справа от меня есть рыцарь». Правду сказал Глоин или солгал? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Сказал правду.
Решение. По условию, рыцари среди гномов есть. Возьмём самого левого из них. Он не мог сказать «Среди стоящих слева от меня есть рыцарь». Значит, это и есть Глоин, и, следовательно, он говорит правду.

Ответ: $Глоин-рыцарь.$

Так как гном который находится на правом краю шеренги рыцарь( но этот гном не Глоин) , значит слева еще как минимум есть один рыцарь, и так далее , все гномы которые стоят до левого края не могут быть Глоином ,потому что у Глоина гномы только справа есть. А так как все гномы до него рыцари, значит и он тоже рыцарь.

Допустим, Глоин был лжецом. Тогда гном справа, Глоина, тоже лжец, потому что он лжет. Значит, гном, стоящий справа от гнома который стоящий справа от Глоинна, тоже лжец... Значит, гном, стоящий справа от всех, тоже лжец. Но по условию есть хотя бы один рыцарь. Значит Глоин рыцарь и он не врал.

Допустим, Глоин был лжецом. Тогда гном справа, Глоина, тоже лжец, потому что он лжет. Значит, гном, стоящий справа от гнома который стоящий справа от Глоинна, тоже лжец... Значит, гном, стоящий справа от всех, тоже лжец. Но по условию есть хотя бы один рыцарь. Значит Глоин рыцарь и он не врал.