Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур регионального этапа


Задача №1.  Каждый из 10 гномов — либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда врёт, причём хотя бы один из гномов — рыцарь. Все гномы выстроились в шеренгу, после чего девятеро сказали: «Среди стоящих слева от меня есть рыцарь», а оставшийся, Глоин, сказал: «Среди стоящих справа от меня есть рыцарь». Правду сказал Глоин или солгал? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(4)
Задача №2.  На пути в музей группа детсадовцев построилась парами, причём количество пар из двух мальчиков было в три раза больше количества пар из двух девочек. На обратном пути та же группа построилась так, что количество пар из двух мальчиков было в четыре раза больше количества пар из двух девочек. Докажите, что эту же группу можно построить так, чтобы количество пар из двух мальчиков было в семь раз больше количества пар из двух девочек. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На отрезке AB отмечена точка M. Точки P и Q — середины отрезков AM и BM соответственно, точка O — середина отрезка PQ. Выберем точку C так, чтобы угол ACB был прямым. Пусть MD и ME — перпендикуляры, опущенные из точки M на прямые CA и CB, а F — середина отрезка DE. Докажите, что длина отрезка OF не зависит от выбора точки C. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Существуют ли шесть различных натуральных чисел a, b, c, d, e, f таких, что справедливо равенство (a+b+c+d+e+f):(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f)=2012? ( Б. Трушин )
комментарий/решение(2)