Эйлер атындағы олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Есеп №1. Әр 10 гномның әрқайсысы — әрқашан да шындықты айтатын сері, немесе әрқашан да өтірік айтатын өтірікші. Және де гномдардың кемінде біреуі — сері.
Гномдар бір сабқа тізілгеннен кейін олардың тоғызы: «Тізілгендердің ішінде менің сол жағымда тұрғандардың ішінде сері бар», ал қалған гном, Глоин: «Тізілгендердің ішінде менің оң жағымда тұрғандардың ішінде сері бар», -- деді.
Глоин шын айтты ма алде өтірік айтты ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Музейге барар жолда балабақша балалар тобы жұптарға бөлініп тізілді. Сонда екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан үш есе көп болған. Қайтар жолда сол топ екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан төрт есе көп болатындай етіп тізілген. Олай болса, осы топты екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан жеті есе көп болатындай етіп тізуге болатынын дәлелде. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$M$ —

$AB$ кесіндісінде белгіленген нүкте болсын.

$P$ мен

$Q$ нүктелері — сәйкесінше

$AM$ мен

$BM$ кесінділерінің ортасы,

$O$ нүктесі —

$PQ$ кесіндісінің ортасы болсын.

$ACB$ бұрышы тік болатындай

$C$ нүктесін белгілейік.

$MD$ мен

$ME$ —

$M$ нүктесінен

$CA$ мен

$CB$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар, ал

$F$ —

$DE$ кесіндісінің ортасы болсын.

$OF$ кесіндісінің ұзындығы белгіленген

$C$ нүктесіне тәуелді емес екенін дәлелдеңдер. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$(a+b+c+d+e+f) : (1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f)=2012$ теңдігі орындалатындай әр түрлі алты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ ,

$e$ ,

$f$ натурал сандары табылады ма? ( Б. Трушин )
комментарий/решение(2)