Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур регионального этапа

Петя и Вася стартуют по круговой дорожке из одной точки в направлении против часовой стрелки. Оба бегут с постоянными скоростями, скорость Васи вдвое больше скорости Пети. Петя все время бежит против часовой стрелки, а Вася может менять направление бега, если он перед этим пробежал полкруга или больше в одном направлении. Покажите, что пока Петя бежит первый круг, Вася может трижды, не считая момента старта, поравняться (встретиться или догнать) с ним. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Поделим дорожку на шесть равных частей последовательными точками $A_1,$ $\ldots,$ $A_6$ так, чтобы бегуны стартовали из точки $A_1$ в направлении $A_2.$ Добежав до $A_4,$ Вася поворачивает и в точке $A_3$ впервые встречает Петю. Затем Вася продолжает бежать по часовой стрелке, пока не встретит Петю во второй раз в точке $A_5.$ Пробежав еще по часовой стрелке не дальше точки $A_4,$ Вася поворачивает (он имеет на это право, так как перед этим пробежал по часовой стрелке более половины дорожки) и обгоняет Петю не позже, чем тот добежит до финиша, так как Пете после второй встречи осталось бежать до точки $A_1$ треть круга, а Васе — не более двух третей круга.