Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур дистанционного этапа

Назовем сапогом клетчатую фигуру, составленную из прямоугольника шириной одну и длиной не менее двух клеток и клетки, примыкающей сбоку к одной из крайних клеток этого прямоугольника (на рисунке изображен пример сапога, составленного из 5 клеток; фигуры, которые получаются из изображенного сапога поворотами и переворотами — тоже сапоги). Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеточек на сапоги, среди которых нет равных? Напомним, что фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, что они совместятся.

( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Назовем длиной сапога количество клеток в его голенище (например, на чертеже из условия задачи сапог длины 4). Очевидно, что два сапога равны тогда и только тогда, когда равны их длины. Возьмем квадрат со стороной $n.$ Допустим, его удалось разрезать на попарно различные сапоги. Длина любого из них не превосходит $n,$ и среди них не больше одного сапога каждой из длин $n$, $n-1$, $\ldots,$ $2.$ Значит, их суммарная площадь не больше, чем $3+\ldots+n+(n+1) = (n+4)(n-1)/2 = (n^2+3n-4)/2.$ Теперь достаточно показать, что полученный результат меньше площади квадрата: $(n^2+3n-4)/2 < n^2 \Leftrightarrow n^2-3n+4 > 0.$