Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2018-2019 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Ені бір тор болатын, ал ұзындығы екі клеткадан кем болмайтын тіктөртбұрыштан және осы тіктөртбұрыштың шеткі клеткалардың біреуіне жанынан қосылатын клеткадан құралған фигураны «етік» деп атаймыз (5 тордан құралған «етіктің» мысалы суретте келтірілген, осы суретті айналдыру арқылы алынған басқа фигуралар да «етік» болып есептеледі). Қандай-да бір квадратты өзара тең емес бірнеше «етіктерге» бөлуге болады ма? Айта кетсек, бірінің үстіне бірін беттестіруге болатын фигуралар ғана өзара тең болады.

( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Назовем длиной сапога количество клеток в его голенище (например, на чертеже из условия задачи сапог длины 4). Очевидно, что два сапога равны тогда и только тогда, когда равны их длины. Возьмем квадрат со стороной $n.$ Допустим, его удалось разрезать на попарно различные сапоги. Длина любого из них не превосходит $n,$ и среди них не больше одного сапога каждой из длин $n$, $n-1$, $\ldots,$ $2.$ Значит, их суммарная площадь не больше, чем $3+\ldots+n+(n+1) = (n+4)(n-1)/2 = (n^2+3n-4)/2.$ Теперь достаточно показать, что полученный результат меньше площади квадрата: $(n^2+3n-4)/2 < n^2 \Leftrightarrow n^2-3n+4 > 0.$