Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, III тур дистанционного этапа

Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пусть данные числа $a, b, c$. Б.О.О $a≥b≥c$ Формулой сокращенного умножение получаем:

$3a²b+3ab²=0 \Rightarrow b≤0, a≥0$

$3b²c+3bc²=0 \Rightarrow c≤0, b≥0$

$\Rightarrow 0≤b≤0 \Rightarrow b=0$ Что требовалось доказать