Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, III тур дистанционного этапа

Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пусть искомые числа будут:

$a, b, c≠0$

Получаем систему уравнений:

$(a+b)³=a³+b³$

$(a+c)³=a³+c³$

$(b+c)³=b³+c³$

упрощаем:

$ab(a+b)=0$

$ac(a+c)=0$

$bc(b+c)=0$

мы можем делить на $ab, ac, bc$ т.к. они не равны нулю.

$a+b=0$

$a+c=0$

$b+c=0$

вычитаем из первого второе, полученное $b=c$ и подставляем в третье, получаем что $b=0$, противоречие