Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур регионального этапа

На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: «На доске нарисованы по крайней мере две трапеции». Вася сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника». Коля сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два ромба». Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других — правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат. (Напомним, что трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.) ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Трапеция не может быть параллелограммом. Поэтому, если Петя прав, то на доске нарисовано не больше одного параллелограмма, и Вася с Колей оба неправы. Но по условию неправду сказал только один человек. Значит, это Петя, а Вася и Коля сказали правду. Но это значит, что по крайней мере один из трёх нарисованных на доске четырёхугольников одновременно является прямоугольником и ромбом, то есть квадратом.