Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, I тур регионального этапа

Задача №1.  На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: «На доске нарисованы по крайней мере две трапеции». Вася сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника». Коля сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два ромба». Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других — правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат. (Напомним, что трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ такой, что $AD = AB+CD$. Оказалось, что биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $BC$. Докажите, что биссектриса угла $D$ также проходит через середину $BC$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Через центры некоторых клеток шахматной доски $8 \times 8$ проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков. ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(2)

---