Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение 1. Обозначим наши числа a, b, c. Тогда a+b2+c2=a2+b+c2=a2+b2+c. Из первых двух равенств имеем a2−a=b2−b, что равносильно равенству (a−b)(a+b−1)=0. Значит, a=b или b=1−a. Аналогично, a=c или c=1−a. Следовательно, если a≠b и a≠c, то b=1−a=c, то есть в любом случае два числа равны.
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2. Решение 2. Обозначим наши числа a, b, c. Тогда a+b2+c2=a2+b+c2=a2+b2+c. Отсюда a2−a=b2−b=c2−c=d (где d — некоторое число), т.е. числа a, b и c — решения уравнения x2−x=d. Но квадратное уравнение имеет не более двух решений. Это и значит, что хотя бы два из наших чисел равны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.