Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Арасында кез келген санды алып, оған қалған екеуінің квадраттарының қосындысын қоссақ, онда таңдалған санға тәуелсіз бірдей нәтиже шығатындай үш оң сан берілген. Бастапқы сандардың ішінде екі сан бірдей екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Обозначим наши числа $a$, $b$, $c$. Тогда $a+b^2+c^2 = a^2+b+c^2 = a^2+b^2+c$. Из первых двух равенств имеем $a^2-a = b^2-b$, что равносильно равенству $(a-b)(a+b-1) = 0$. Значит, $a = b$ или $b = 1-a$. Аналогично, $a = c$ или $c = 1-a$. Следовательно, если $a \ne b$ и $a \ne c$, то $b = 1-a = c$, то есть в любом случае два числа равны.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Обозначим наши числа $a$, $b$, $c$. Тогда $a+b^2+c^2 = a^2+b+c^2 = a^2+b^2+c$. Отсюда $a^2-a = b^2-b = c^2-c = d$ (где $d$ — некоторое число), т.е. числа $a$, $b$ и $c$ — решения уравнения $x^2-x = d$. Но квадратное уравнение имеет не более двух решений. Это и значит, что хотя бы два из наших чисел равны.