Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур регионального этапа

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Обозначим наши числа $a$, $b$, $c$. Тогда $a+b^2+c^2 = a^2+b+c^2 = a^2+b^2+c$. Из первых двух равенств имеем $a^2-a = b^2-b$, что равносильно равенству $(a-b)(a+b-1) = 0$. Значит, $a = b$ или $b = 1-a$. Аналогично, $a = c$ или $c = 1-a$. Следовательно, если $a \ne b$ и $a \ne c$, то $b = 1-a = c$, то есть в любом случае два числа равны.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Обозначим наши числа $a$, $b$, $c$. Тогда $a+b^2+c^2 = a^2+b+c^2 = a^2+b^2+c$. Отсюда $a^2-a = b^2-b = c^2-c = d$ (где $d$ — некоторое число), т.е. числа $a$, $b$ и $c$ — решения уравнения $x^2-x = d$. Но квадратное уравнение имеет не более двух решений. Это и значит, что хотя бы два из наших чисел равны.