Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


AD=AB+CD болатындай ABCD дөңес төртбұрышы берілген. A бұрышының биссектрисасы BC қабырғасының ортасынан өтетіні белгілі. D бұрышының биссектрисасы да BC қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Р. Женодаров )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть E — середина BC. Отметим на стороне AD точку F такую, что AB=AF; тогда из условия FD=ADAF=CD. Треугольники AEB и AEF равны по двум сторонам (AB=AF, AE — общая) и углу между ними. Значит, EF=BE=EC. Теперь получаем, что треугольники DEF и DEC равны по трём сторонам, откуда EDF=EDC, и точка E лежит на биссектрисе угла D, что и требовалось доказать.


Замечание. Несложно показать, что ABCD. Действительно, ABE=AFE=180DFE=DCE, то есть сумма внутренних односторонних углов равна 180 .