Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры
AD=AB+CD болатындай ABCD дөңес төртбұрышы берілген. A бұрышының биссектрисасы BC қабырғасының ортасынан өтетіні белгілі. D бұрышының биссектрисасы да BC қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңіз.
(
Р. Женодаров
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Пусть E — середина BC. Отметим на стороне AD точку F такую, что AB=AF; тогда из условия FD=AD−AF=CD. Треугольники AEB и AEF равны по двум сторонам (AB=AF, AE — общая) и углу между ними. Значит, EF=BE=EC. Теперь получаем, что треугольники DEF и DEC равны по трём сторонам, откуда ∠EDF=∠EDC, и точка E лежит на биссектрисе угла D, что и требовалось доказать.
Замечание. Несложно показать, что AB∥CD. Действительно, ∠ABE=∠AFE=180∘−∠DFE=∠DCE, то есть сумма внутренних односторонних углов равна 180∘ .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.