Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур регионального этапа

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ такой, что $AD = AB+CD$. Оказалось, что биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $BC$. Докажите, что биссектриса угла $D$ также проходит через середину $BC$. ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $E$ — середина $BC$. Отметим на стороне $AD$ точку $F$ такую, что $AB = AF$; тогда из условия $FD = AD-AF = CD$. Треугольники $AEB$ и $AEF$ равны по двум сторонам ($AB = AF$, $AE$ — общая) и углу между ними. Значит, $EF = BE = EC$. Теперь получаем, что треугольники $DEF$ и $DEC$ равны по трём сторонам, откуда $\angle EDF = \angle EDC$, и точка $E$ лежит на биссектрисе угла $D$, что и требовалось доказать.