Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур регионального этапа

Два бегуна бегают с равными постоянными скоростями по диагоналям $AC$ и $BD$ соответственно квадрата $ABCD.$ Добежав до конца диагонали, бегун сразу поворачивает обратно. Стартовали они одновременно из двух случайно выбранных точек своих диагоналей. Докажите, что найдётся момент, когда расстояние между бегунами будет строго меньше половины диагонали квадрата. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пусть центр квадрата находится в точке О. Заметим что так как скорости бегунов не нулевые, то один из них когда то доберётся до центра. Тогда второй бегун мог быть только в вершинах квадрата, иначе расстояние между ними было бы меньше половины диагонали. Значит постоянно, когда кто то добирается до центра, другой находится на одной из вершин квадрата. Тогда, так как у бегунов равные скорости, то, найдётся момент когда они будут на серединах половинок диагоналей, так как когда один из них удалится от центра на расстояние 1/4 диагонали, второй приблизится к центру на расстояние 1/4 диагонали. Значит в этот момент расстояние между ними равно сторона квадрата /2. А сторона квадрата /2 меньше чем половина диагонали так как диагональ больше чем сторона. Отсюда, всегда найдётся момент времени когда расстояние между бегунами строго меньше половины диагонали квадрата.