Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Здесь цена натурального числа — это сумма цен цифр в его записи. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  График $y=x+b\sqrt{x}+c$, где $c > 0$, имеет с осью ординат общую точку $C$, а ось абсцисс пересекает в точках $X_1$ и $X_2$. Обозначим через $O$ начало координат. Докажите, что $\angle CX_1O+\angle CX_2O = 90^\circ.$ ( А. Шкловер )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB = BC = CD = DE = 1$. Докажите, что $AD < 2$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  У Зевса имеются весы, позволяющие узнавать вес положенного на них груза, и мешок со 100 монетами, среди которых есть 10- и 9-граммовые. Зевсу известно общее число $N$ 10-граммовых монет в мешке, но неизвестно, какие именно сколько весят. Он хотел бы сделать четыре взвешивания на весах и в результате гарантированно найти хотя бы одну 9-граммовую монету. При каком наибольшем $N$ это возможно? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

---