Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, I тур заключительного этапа
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB = BC = CD = DE = 1$. Докажите, что $AD < 2$.
(
А. Кузнецов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что угол CED < 90°, потому что это угол при основании рав-
нобедренного треугольника CDE. Значит, угол BEC > 90°, поэтому BC > CE. Обозначим че-
рез B' точку, симметричную точке B относительно прямой AC. Поскольку BC = CD = DE,
угол B'CD = угол DCE–угол B'CE = углд CED–угол BCE = уголCBE = угол CDE. Также AB' = CB' = CD = 1. То-
гда треугольники DCB' и EDC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда
B'D = CE. Таким образом, AD <AB'+B'D = 1+CE < 1+BC = 2, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.