Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $E$ нүктесінде қиылысады. $AB = BC = CD = DE = 1$ екені белгілі. $AD < 2$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Заметим, что угол CED < 90°, потому что это угол при основании рав-

нобедренного треугольника CDE. Значит, угол BEC > 90°, поэтому BC > CE. Обозначим че-

рез B' точку, симметричную точке B относительно прямой AC. Поскольку BC = CD = DE,

угол B'CD = угол DCE–угол B'CE = углд CED–угол BCE = уголCBE = угол CDE. Также AB' = CB' = CD = 1. То-

гда треугольники DCB' и EDC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда

B'D = CE. Таким образом, AD <AB'+B'D = 1+CE < 1+BC = 2, что и требовалось доказать.