Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Келесі шарттар орындалатындай 0-ден 9-ға дейінгі цифрлардың әрқайсысына 10 әртүрлі баға беріп шығуға болады ма: біріншісінен басқа келесі санның бағасы алдыңғы сан бағасынан қымбат болатын, 20 қатар келген натурал сандар табылады? Натурал санның бағасы деп, сол санды құрайтын цифрлардың бағаларының қосындысын айтамыз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $y=x+b\sqrt{x}+c$ функциясының графигі мен ординат осінің ортақ $C$ нүктесі бар, бұл жерде $c > 0$, ал сол график абсцисса өсін $X_1$ және $X_2$ нүктелерінде қияды. $O$ арқылы координат басын белгілейік. $\angle CX_1O+\angle CX_2O = 90^\circ$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Шкловер )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $E$ нүктесінде қиылысады. $AB = BC = CD = DE = 1$ екені белгілі. $AD < 2$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Зевсте қойылған салмақтың массасын анықтап беретін таразы мен ішінде 100 тиыны бар қап бар. Қаптың ішінде массасы 10 және 9 грамдық тиындар бар. Зевске каптың ішінде қанша 10 грамдық $N$ тиын бар екені белгілі, бірақ қай тиын қандай салмақты екені белгісіз. Ол төрт өлшем жасау арқылы кепілді түрде қандай да бір 9 грамдық тиынды тапқысы келеді. $N$-нің қандай ең үлкен мәнінде ол 9-грамдық тиынды таба алады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

---