Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, III тур дистанционного этапа

На столе лежит 101 кучка по 101 спичке. За один ход берется одна спичка из любой кучки. Двое игроков ходят по очереди. Если не позднее 10000-го хода будет взята последняя спичка из какой-то кучки, взявший её выигрывает, иначе — ничья. Может ли кто-то из игроков выиграть независимо от игры соперника, и если да, то кто? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не может.
Решение. Заметим, что если не позднее 9999-го хода взять спичку из кучки, где осталось ровно две спички, то соперник выиграет, забрав оттуда последнюю спичку. Поэтому при наилучшей игре обоих игроков каждый будет, пока это возможно, брать спичку из кучки, где больше двух спичек, а проигрышная позиция для того, чья очередь ходить, может возникнуть только тогда, когда во всех кучках останется по две спички. Однако, это может случиться только после того, как из каждой кучки будет взято по 99 спичек, то есть после $99 \cdot 101 = 9999$ ходов. Но следующим ходом будет 10000-ый, и после него в каждой кучке будет еще хотя бы одна спичка. Значит, игра закончится вничью.