Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Үстелде 101 үйінді жатыр. Әр үйіндіде дәл 101 сіріңке бар. Бір жүрісте кез-келген үйіндіден бір сіріңке алынады. Екі ойыншы кезектесіп жүреді. Егер 10000-ші жүрістен кешіктірмей, қандай да бір үйіндіден соңғы сіріңке алынса, сол сіріңкені алған адам жеңеді, ал кері жағдайда — тең ойын болып саналады. Екі ойыншының қандай да бірі қарсыластың ойынына қарамастан, өзіне кепілді түрде жеңісті қамтамасыз ете алады ма? Егер қамтамасыз ете алса, қай ойыншы? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не может.
Решение. Заметим, что если не позднее 9999-го хода взять спичку из кучки, где осталось ровно две спички, то соперник выиграет, забрав оттуда последнюю спичку. Поэтому при наилучшей игре обоих игроков каждый будет, пока это возможно, брать спичку из кучки, где больше двух спичек, а проигрышная позиция для того, чья очередь ходить, может возникнуть только тогда, когда во всех кучках останется по две спички. Однако, это может случиться только после того, как из каждой кучки будет взято по 99 спичек, то есть после $99 \cdot 101 = 9999$ ходов. Но следующим ходом будет 10000-ый, и после него в каждой кучке будет еще хотя бы одна спичка. Значит, игра закончится вничью.