қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, III тур дистанционного этапа
Задача №1. У Васи Пупкина кончились деньги, и он нанялся на работу. По договору он работал без выходных и за каждый день работы он получал по 100 грошей. Получаемые деньги Вася начал тратить. В первый день работы он потратил 1 грош, а в каждый следующий день тратил на 1 грош больше, чем в предыдущий. К концу какого дня работы Вася снова оказался без денег?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На презентации фирмы «Рога и Копыта» было 30 депутатов и бизнесменов. Известно, что депутаты всегда говорят правду, а бизнесмены могут говорить все, что угодно. Их всех усадили за один круглый стол. Во время неофициальной части каждый из них сделал заявление: «Среди двух моих соседей есть хотя бы один бизнесмен». Какое наибольшее число депутатов могло быть на презентации?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В остроугольном треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ равен 45 градусам. Докажите, что периметр этого треугольника меньше удвоенной суммы его высот, опущенных из вершин $B$ и $C$.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На столе лежит 101 кучка по 101 спичке. За один ход берется одна спичка из любой кучки. Двое игроков ходят по очереди. Если не позднее 10000-го хода будет взята последняя спичка из какой-то кучки, взявший её выигрывает, иначе — ничья. Может ли кто-то из игроков выиграть независимо от игры соперника, и если да, то кто?
(
И. Рубанов,
А. Шаповалов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Учитель написал на доске 10 отрицательных целых чисел. Вася переписал в тетрадь эти числа, затем записал туда же всевозможные их попарные произведения, всевозможные произведения трёх, четырёх, $\ldots,$ девяти из этих чисел и, наконец, произведение всех десяти чисел. Оказалось, что сумма всех записанных Васей чисел отрицательна. Чему она могла быть равна?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)