Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Васяның ақшасы таусылғандықтан, ол жұмысқа орналасты. Келісімшарт бойынша ол демалыссыз істеді және әр күндік жұмыс үшін 100 теңге алды. Бірақ алынған ақшаны Вася бірден жұмсай бастады. Жұмыстың бірінші күнінде ол 1 теңге жұмсады, ал әр келесі күні ол алдыңғы күнге қарағанда 1 теңге артық жұмсап отырды. Жұмыстың қай күнінің соңында Вася тағы ақшасыз қалды? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. «Мүйіздер мен Сирақтар» фирмасының тұсаукесеріне депутаттар пен кәсіпкерлер келген. Олардың жалпы саны 30 адам. Депутаттар әрқашан шындықты айтатыны белгілі, ал кәсіпкерлер кез-келген нәрсені айта алады (өтірікті де, шындықты да). Олардың барлығы бір дөңгелек үстелге орналасты. Бейресми бөлім барысында олардың әрқайсысы: «Менің екі көршімнің арасында кем дегенде бір кәсіпкер бар» деп мәлімдеме жасады. Тұсаукесерде ең көп дегенде қанша депутат болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$A$ бұрышы 45 градусқа тең. Осы үшбұрыштың периметрі

$B$ және

$C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің екі еселенген қосындысынан кіші екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Үстелде 101 үйінді жатыр. Әр үйіндіде дәл 101 сіріңке бар. Бір жүрісте кез-келген үйіндіден бір сіріңке алынады. Екі ойыншы кезектесіп жүреді. Егер 10000-ші жүрістен кешіктірмей, қандай да бір үйіндіден соңғы сіріңке алынса, сол сіріңкені алған адам жеңеді, ал кері жағдайда — тең ойын болып саналады. Екі ойыншының қандай да бірі қарсыластың ойынына қарамастан, өзіне кепілді түрде жеңісті қамтамасыз ете алады ма? Егер қамтамасыз ете алса, қай ойыншы? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Мұғалім тақтаға 10 бүтін теріс сандарды жазды. Вася осы сандарды дәптерге көшіріп жазды, содан кейін дәптерге барлық мүмкін жұптардың көбейтіндісін, сосын барлық мүмкін үштіктерінің көбейтіндісін, сосын барлық мүмкін төрттіктердің көбейтіндісін,

$\ldots$ , сосын барлық мүмкін тоғыздықтардың көбейтіндісін, ақырында барлық он санның көбейтіндісін дәптеріне көшіріп жазды. Вася жазған барлық сандардың қосындысы теріс сан болып шыққан. Сол қосынды нешеге тең бола алады? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)