Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур заключительного этапа

В клетках таблицы $6\times 6$ расставлены все натуральные числа от 1 до 36 (в каждой клетке стоит одно число). Назовем уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата $2\times 2$. Обозначим через $m$ наименьшую сумму чисел в уголке, а через $M$ — наибольшее из $m$ по всем возможным расстановкам чисел в таблице. Найдите $M$. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

рассмотрим квадрат состоящий из чисел a b c d

[a b]

[c d]

сумма чисел в уголке полученном удалением одной из клеток будет равна

a:S1=b+c+d

b:S2=a+c+d

c:S3=a+b+d

d:S4=a+b+c

таким образом минимальная сумма для этого квадрата будет

m min (S1,S2,S3,S4)

теперь чтобы найти наибольшую из минимальных сумм M нам нужно рассмотреть все возможные расстановки чисел от 1 до 36 в таблице 6 на 6

для минимизации суммы m в уголке нам нужно чтобы три числа которые остаются были как можно меньшими наименьшии числа от 1 до 36 это 1 2 3 4

[1 2]

[3 4]

далее вычисляем

S1=2+3+4=9

S2=1+3+4=8

S3=1+2+4=7

S4=1+2+3=6

m=6

также можем заметить закономерность

S1>S2>S3>S4

теперь найдем максимальное значение M ,не трудно догадаться что четыре самых больших чисел от 1 до 36 это 33 34 35 36

вычисляем

S1=34+35+36=105

S2=33+35+36=104

как видим здесь тоже работает закономерность S1>S2>S3>S4 и уже понятно что

M=S1=105

но ради интереса можно закончить вычисления что бы точно доказать что M=S1

S3=33+34+36=103

S4=33+34+35=102

Ответ m=6 ,M=105