Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2008-2009 учебный год, II тур регионального этапа
Задача №1. На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа , , из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число . Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В выпуклом четырехугольнике некоторая точка диагонали принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам и , а некоторая точка диагонали принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам и . Докажите, что — прямоугольник.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В футбольном турнире участвовало 8 команд, причем каждая сыграла с каждой ровно по одному разу Известно, что любые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.)
(
С. Токарев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)