Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, II тур регионального этапа

На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Начинающий.
Решение. Обозначим игроков $A$ (начинающий) и $B$ (его противник). Приведем стратегию, позволяющую $A$ гарантированно выиграть. Пусть он возьмет первым ходом цифру 3; тогда $B$ вынужден брать 4 (иначе $A$ вторым ходом ее возьмет и выиграет, составив число 34). Заметим, что тогда вторым своим ходом $B$ не выиграет, ибо единственное двузначное число, содержащее 4 в своей записи и делящееся на 17 — это 34. Далее $A$ возьмет 1, тогда $B$ должен брать 5 (действительно, иначе этим ходом он не выиграет, а следующим ходом $A$ возьмет 5 и составит 51). Тогда следующим ходом $A$ возьмет 6 и выиграет, составив число 136. Существуют и другие выигрышные стратегии для $A$.

Ответ:Начинающий

Пусть первый игрок вначале возьмет карточку 1, тогда второму приходится брать 5; потом берем 3, второй снова вынужден брать 4; и мы берем 6, и выходит то что

$136 \equiv 0 \pmod {17}$