Эйлер атындағы олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Үстелде 0-ден 6-ға дейінгі цифрасы бар 7 карта бар. Екі ойыншы кезектесіп бір картадан алады. Қай ойыншы бірінші болып өзінің картасынан 17-ге бөлінетін сан құрса, сол ойыншы ұтады. Дұрыс ойында кім ұтады — бастайтын ойыншы ма немесе оның қарсыласы ма? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Начинающий.
Решение. Обозначим игроков $A$ (начинающий) и $B$ (его противник). Приведем стратегию, позволяющую $A$ гарантированно выиграть. Пусть он возьмет первым ходом цифру 3; тогда $B$ вынужден брать 4 (иначе $A$ вторым ходом ее возьмет и выиграет, составив число 34). Заметим, что тогда вторым своим ходом $B$ не выиграет, ибо единственное двузначное число, содержащее 4 в своей записи и делящееся на 17 — это 34. Далее $A$ возьмет 1, тогда $B$ должен брать 5 (действительно, иначе этим ходом он не выиграет, а следующим ходом $A$ возьмет 5 и составит 51). Тогда следующим ходом $A$ возьмет 6 и выиграет, составив число 136. Существуют и другие выигрышные стратегии для $A$.

Ответ:Начинающий

Пусть первый игрок вначале возьмет карточку 1, тогда второму приходится брать 5; потом берем 3, второй снова вынужден брать 4; и мы берем 6, и выходит то что

$ 136 \equiv 0 \pmod {17}$