Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, II тур регионального этапа

В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа $a$, $b$, $c$ из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число $ab+c^2$. Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были).

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть записаны числа $a$, $b$, $c$. Последовательно составим $a+b$, $b+c$, $a+c$, $(a+b)c+a^2$, $(b+c)a+b^2$, $(c+a)b+c^2$, $(a+b)c+a^2+b+c)a+b^2$ и $(a+b)c+a^2+b+c)a+b^2)+(c+a)b+c^2 = (a+b+c)^2$. Задачу можно решить и многими другими способами.