Эйлер атындағы олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Шаршылы қағаз бетте үш шаршыда сан жазылған, ал қалған шаршылар бос тұр. Бос емес кез келген екі шаршыдағы санды алып, олардың қосындысын басқа бос шаршыға жазса болады. Және де бос емес үш шаршыдан $a$, $b$ және $c$ сандарын алып бос шаршыға $ab+c^2$ санын жазса болады. Осындай бірнеше операциялармен бір шаршыға басында таңдап алынған үш санның қосындысының квадратын жазса болатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть записаны числа $a$, $b$, $c$. Последовательно составим $a+b$, $b+c$, $a+c$, $(a+b)c+a^2$, $(b+c)a+b^2$, $(c+a)b+c^2$, $(a+b)c+a^2+b+c)a+b^2$ и $(a+b)c+a^2+b+c)a+b^2)+(c+a)b+c^2 = (a+b+c)^2$. Задачу можно решить и многими другими способами.