Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, III тур дистанционного этапа

Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Может ли отношение суммарной длины береговой линии всех островов к их суммарной площади равняться: а) 5; б) 3,99? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. а) Не может. б) Может.
Решение. а) Разрежем фигуру на клеточки. При этом суммарная площадь клеточек будет равна площади фигуры, а суммарный периметр клеточек будет не меньше периметра фигуры. Но суммарная площадь $k$ отдельных клеточек равна $k$ кв. см, а их суммарный периметр — $4k,$ что меньше, чем $5k,$ откуда и вытекает ответ.
   б) Таков, например, архипелаг из 198 одноклеточных островов и одного двухклеточного.