Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Игорь клетка қабырғасы 1 см-ге тең торлы қағазда архипелаг суретін салды. Архипелаг құрайтын әр арал тор клеткаларынан құралған көпбұрыш пішінді қабылдайды, және ешқандай екі аралдың ортақ нүктесі жоқ. Барлық аралдардың жағалау сызығының жалпы ұзындығының қосындысының олардың жалпы аудандарының қосындысының қатынасы
   а) 5-ке;
   б) 3,99-ға тең бола ала ма? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. а) Не может. б) Может.
Решение. а) Разрежем фигуру на клеточки. При этом суммарная площадь клеточек будет равна площади фигуры, а суммарный периметр клеточек будет не меньше периметра фигуры. Но суммарная площадь $k$ отдельных клеточек равна $k$ кв. см, а их суммарный периметр — $4k,$ что меньше, чем $5k,$ откуда и вытекает ответ.
   б) Таков, например, архипелаг из 198 одноклеточных островов и одного двухклеточного.