Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа
Пять положительных чисел таковы, что сумма их кубов меньше суммы их квадратов. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 2.
(
И. Рубанов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}>a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}$
$a^{2}(1-a)+b^{2}(1-b)+c^{2}(1-c)+d^{2}(1-d)+e^{2}(1-e)>0$
$Допустим \: один \: из \: чисел \: противоречит \: условиям \: (допустим \: a>2), \: то:$
$a^{2}(1-a)<-4 \rightarrow b^{2}(1-b)+c^{2}(1-c)+d^{2}(1-d)+e^{2}(1-e)>4:$
$b^{2}(1-b)>1 \: либо \: c^{2}(1-c)>1 \: либо \: d^{2}(1-d)>1 \: либо \: e^{2}(1-e)>1, \: b \: либо \: c \: либо \: d \: либо \: e<0, \: значит \: b \: либо \: c \: либо \: d \: либо \: e \: не \: положительные \: и \: противоречит \: условиям \rightarrow a,b,c,d,e<2$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.