Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, II тур заключительного этапа


Задача №1.  Целые числа a, b, c таковы, что a+b+c=1 и a2+b2+c2=2n+1 (n — натуральное число). Докажите, что a3+b2a2b3 делится на n. ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Среди десяти человек ровно один лжец и 9 рыцарей. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждому из них дали карточку с натуральным числом от 1 до 10, причем все числа на карточках различны. Любому можно задать вопрос: «Верно ли, что на твоей карточке написано число M?» (M может быть только натуральным числом от 1 до 10). Верно ли, что за 17 таких вопросов можно гарантированно найти лжеца? ( О. Подлипский )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Из клетчатой доски размером 70×70 вырезали 2018 клеток. Докажите, что доска распалась не более чем на 2018 кусков. Два куска, не имеющие общих точек кроме вершин клеток, считаются не соединёнными друг с другом. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Вершина F параллелограмма ACEF лежит на стороне BC параллелограмма ABCD. Известно, что AC=AD и AE=2CD. Докажите, что CDE=BEF. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)
результаты