Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Целые числа a, b, c таковы, что a+b+c=1 и a2+b2+c2=2n+1 (n — натуральное число). Докажите, что a3+b2−a2−b3 делится на n.
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Среди десяти человек ровно один лжец и 9 рыцарей. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждому из них дали карточку с натуральным числом от 1 до 10, причем все числа на карточках различны. Любому можно задать вопрос: «Верно ли, что на твоей карточке написано число M?» (M может быть только натуральным числом от 1 до 10). Верно ли, что за 17 таких вопросов можно гарантированно найти лжеца?
(
О. Подлипский
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Из клетчатой доски размером 70×70 вырезали 2018 клеток. Докажите, что доска распалась не более чем на 2018 кусков. Два куска, не имеющие общих точек кроме вершин клеток, считаются не соединёнными друг с другом.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Вершина F параллелограмма ACEF лежит на стороне BC параллелограмма ABCD. Известно, что AC=AD и AE=2CD. Докажите, что ∠CDE=∠BEF.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)