Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, II тур заключительного этапа

Есеп №1. $a+b+c=1$ және ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2n+1$ болатындай бүтін $a,$ $b,$ $c$ сандары берілсін. ${{a}^{3}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{3}}$ саны $n$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз ($n$ — натурал сан). ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Он адам ішінде бір өтірікші және тоғыз сері бар. Серілер әрдайым шындықты айтады, ал өтірікшілер тек өтірік айтады. Карточкаларда әртүрлі сандар болатындай, әрбір адамға 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандардың біреуі жазылған карточка таратылды. Кез келгеніне: «Сенің карточкаңда $M$ саны жазылған ба?» деп сұрақ қоюға болады ($M$ саны 1-ден 10-ға дейінгі сан). Осындай 17 сұрақпен өтірікшіні анықтауға болады ма? ( О. Подлипский )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Өлшемі $70\times 70$ тор тақтадан 2018 шаршыны кесіп алып тастаған. Тақтай 2018-ден көп емес бөліктерге бөлінгенін дәлелдеңіз. Төбе нүктелерден басқа ортақ нүктелері жоқ бөліктер, байланыспаған деп аталады. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $ACEF$ параллелограммының $F$ төбесі, $ABCD$ параллелограммының $BC$ қабырғасында жатыр. $AC=AD$ және $AE=2CD$ екені белгілі. $\angle CDE=\angle BEF$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

---