Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, II тур заключительного этапа

Целые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a+b+c = 1$ и $a^2+b^2+c^2 = 2n+1$ ($n$ — натуральное число). Докажите, что $a^3+b^2-a^2-b^3$ делится на $n.$ ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Из условия следует, что $a^2+b^2+(1-a-b)^2 = 2n+1,$ откуда $a^2+b^2+ab-(a+b) = n.$ Поэтому $a^3+b^2-a^2-b^3 = (a^3-b^3)+(b^2-a^2) = (a-b)(a^2+b^2+ab-(a+b)) = (a-b)\cdot n,$ что и требовалось доказать.

$$\left\{ \begin{gathered} a^2+ab+ca=a\\ ab+b^2+bc=b \\ ca+bc+c^2=c \\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=a+b+c=1 \Longrightarrow ab+bc+ca=-n$$

$$\left\{ \begin{gathered} a^2+ab+ca=a\\ ab+b^2+bc=b \\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow a^2+ab+b^2=a+b-ab-bc-ca$$

$$a^3-b^3-(a^2-b^2)=(a-b)(a^2+ab+b^2-a-b)=(a-b)(a+b-ab-bc-ca-a-b)=(a-b)n \equiv 0 \pmod n$$