Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, II тур заключительного этапа
a+b+c=1 және a2+b2+c2=2n+1 болатындай бүтін a, b, c сандары берілсін. a3+b2−a2−b3 саны n санына бөлінетінін дәлелдеңіз (n — натурал сан).
(
Н. Агаханов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Из условия следует, что a2+b2+(1−a−b)2=2n+1, откуда a2+b2+ab−(a+b)=n. Поэтому a3+b2−a2−b3=(a3−b3)+(b2−a2)=(a−b)(a2+b2+ab−(a+b))=(a−b)⋅n, что и требовалось доказать.
{a2+ab+ca=aab+b2+bc=bca+bc+c2=c⟹a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a+b+c=1⟹ab+bc+ca=−n
{a2+ab+ca=aab+b2+bc=b⟹a2+ab+b2=a+b−ab−bc−ca
a^3-b^3-(a^2-b^2)=(a-b)(a^2+ab+b^2-a-b)=(a-b)(a+b-ab-bc-ca-a-b)=(a-b)n \equiv 0 \pmod n
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.