Processing math: 92%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, II тур заключительного этапа


a+b+c=1 және a2+b2+c2=2n+1 болатындай бүтін a, b, c сандары берілсін. a3+b2a2b3 саны n санына бөлінетінін дәлелдеңіз (n — натурал сан). ( Н. Агаханов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Из условия следует, что a2+b2+(1ab)2=2n+1, откуда a2+b2+ab(a+b)=n. Поэтому a3+b2a2b3=(a3b3)+(b2a2)=(ab)(a2+b2+ab(a+b))=(ab)n, что и требовалось доказать.

  2
14 дней 8 часов назад #

{a2+ab+ca=aab+b2+bc=bca+bc+c2=ca2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a+b+c=1ab+bc+ca=n

{a2+ab+ca=aab+b2+bc=ba2+ab+b2=a+babbcca

a^3-b^3-(a^2-b^2)=(a-b)(a^2+ab+b^2-a-b)=(a-b)(a+b-ab-bc-ca-a-b)=(a-b)n \equiv 0 \pmod n