Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа


Ешқандай екеуі өзара тең емес, және олардың кез келген 1012-нің көбейтіндісі қалған 1010-ның көбейтіндісіне бөлінетіндей, 2022 натурал сандар табылады ма? ( И. Рубанов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Существуют.
Решение. I Подойдут числа 2022!, 2022!/2, , 2022!/2022. Произведение любых 1012 из них делится на (2022!)1011, а произведение любых 1010 из них является делителем числа (2022!)1010, а, значит, и числа (2022!)1011.
Решение. II Подойдёт любой набор чисел вида 2n, 2n+1, , 2n+2021, где n510050. Произведение любых 1012 из них — степень двойки, не меньшая, чем 2n+(n+1)++(n+1011)=21012n+10111012/2, а произведение любых 1010 — степень двойки, не большая, чем 2(n+1012)++(n+2021)=21010n+30331010/2. Решая неравенство 1012n+10111012/2>1010n+30331010/2, получаем n>510049,5, откуда и вытекает утверждение, сделанное в начале решения, так как любая степень двойки делится на любую меньшую степень двойки.