Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. Существуют.
Решение. I Подойдут числа 2022!, 2022!/2, …, 2022!/2022. Произведение любых 1012 из них делится на (2022!)1011, а произведение любых 1010 из них является делителем числа (2022!)1010, а, значит, и числа (2022!)1011.
Решение. II Подойдёт любой набор чисел вида 2n, 2n+1, …, 2n+2021, где n≥510050. Произведение любых 1012 из них — степень двойки, не меньшая, чем 2n+(n+1)+…+(n+1011)=21012n+1011⋅1012/2, а произведение любых 1010 — степень двойки, не большая, чем 2(n+1012)+…+(n+2021)=21010n+3033⋅1010/2. Решая неравенство 1012n+1011⋅1012/2>1010n+3033⋅1010/2, получаем n>510049,5, откуда и вытекает утверждение, сделанное в начале решения, так как любая степень двойки делится на любую меньшую степень двойки.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.