Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа

Ешқандай екеуі өзара тең емес, және олардың кез келген 1012-нің көбейтіндісі қалған 1010-ның көбейтіндісіне бөлінетіндей, 2022 натурал сандар табылады ма? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Существуют.
Решение. I Подойдут числа $2022!$, $2022!/2$, $\ldots$, $2022!/ 2022$. Произведение любых 1012 из них делится на $(2022!)^{1011}$, а произведение любых 1010 из них является делителем числа $(2022!)^{1010}$, а, значит, и числа $(2022!)^{1011}$.
Решение. II Подойдёт любой набор чисел вида $2^n$, $2^{n+1}$, $\ldots$, $2^{n+2021}$, где $n \ge 510\,050$. Произведение любых 1012 из них — степень двойки, не меньшая, чем $2^{n+(n+1)+\ldots +(n+1011)} = 2^{1012n+1011\cdot 1012/2}$, а произведение любых 1010 — степень двойки, не большая, чем $2^{(n+1012)+\ldots +(n+2021)} = 2^{1010n+3033\cdot 1010/2}$. Решая неравенство $1012n+1011\cdot 1012/2 > 1010n+3033\cdot 1010/2$, получаем $n > 510\,049,\!5$, откуда и вытекает утверждение, сделанное в начале решения, так как любая степень двойки делится на любую меньшую степень двойки.