Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Скоростное шоссе, по которому можно ехать со скоростью 150 км/ч, идет параллельно обычному, по которому можно ехать со скоростью 100 км/ч. Проехать 1 км по скоростному шоссе стоит 3 рубля, а по обычному — 1 рубль. Мише надо проехать из Ёлкина в Палкино, до которого 100 км. У него есть 250 рублей. За какое наименьшее время он может добраться до Палкина? Считаем, что разгон, торможение и переход с одного шоссе на другое происходят мгновенно. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пусть $x$ это количество км пройденных в скоростной шоссе и $y$ количества км пройденных простой шоссе .

И у нас есть что $x+y=100$.

Потом мы знаем за каждый км пройденных в скоростной шоссе платим 3 рубля и 1 рубль за каждый км в простой шоссе. У нас есть 250 рубль. Значить $3x+y=250$ отнимаем первое от второго . Тогда получается $2x=150$ значить $x=75$ и $y=25$ . И пройдем $75$ км за $30$ минут со скоростью $150$км/ч, и пройдем $25$ км за $15$ минут со скоростью $100$ км/ч. Значить мы пройдем $100$ км за $45$ минут.

Ответ: $45$ Минут.

Возьмём максимальную скорость, очевидно что когда Миша будет ехать только на скоростном шоссе ,то он доедет быстрее всего ,то есть за:

$60÷150=0,4мин/km$

$\Rightarrow$ $0,4×100=40минуты$

Значит едя только на скоростном, Миша доедет за $40минут$

На это Мише ушло бы $3×100=300$ рублей.

Но в таком случае ему будет не хватать $300-250=50$ рублей.

Едя $1$ минуту на Обычном поезде вместо скоростного Миша экономит:

$3-1=2$ рубля так как мы тратим $1$ рубль вместо $3$.

Но теряет $\frac{60}{100} - \frac{60}{150} = \frac{20}{100} = 0,2$минут

Так как Мише надо сэкономить 50 рублей в таком случае Мише надо проехать $50÷2=25km$ на обычном но в таком случае Миша теряет:

$25×0,2=5$минут едя столько на обычном.

Значит наименьшее время с Ёлкина до Палкино это $40+5=45$минут.

Проверим, если Миша едет на обычном Шоссе $25km$ Тогда на скоростном:

$100-25=75km$

Тогда $(75×0,4)+(25×0,6)=30+15=45$минут ,а по рублям:

$(75×3)+(25×1)=225+25=250рублей$ что не противоречит не одному условию.