Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

150 км/сағ жылдамдықпен жүруге болатын автомагистраль 100 км/сағ жылдамдықпен жүруге болатын жай тас жолға параллель орналасқан. Автомагистральда жүрген әр 1 км жүру үшін 3 рубль, ал тас жолдағы әр 1 км үшін 1 рубль төлеу керек. Мишаға арасы 100 км болатын Ёлкинадан Палкинаға бару керек. Оның 250 рубльі бар. Ол Палкинаға қандай ең аз уақытта жете алады? Орыннан қозғалу, тоқтау және бір жолдан екінші жолға өту лезде болады деп есептеңіз. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Пусть $x$ это количество км пройденных в скоростной шоссе и $y$ количества км пройденных простой шоссе .

И у нас есть что $x+y=100$.

Потом мы знаем за каждый км пройденных в скоростной шоссе платим 3 рубля и 1 рубль за каждый км в простой шоссе. У нас есть 250 рубль. Значить $3x+y=250$ отнимаем первое от второго . Тогда получается $2x=150$ значить $x=75$ и $y=25$ . И пройдем $75$ км за $30$ минут со скоростью $150$км/ч, и пройдем $25$ км за $15$ минут со скоростью $100$ км/ч. Значить мы пройдем $100$ км за $45$ минут.

Ответ: $45$ Минут.

Возьмём максимальную скорость, очевидно что когда Миша будет ехать только на скоростном шоссе ,то он доедет быстрее всего ,то есть за:

$60÷150=0,4мин/km$

$\Rightarrow$ $0,4×100=40минуты$

Значит едя только на скоростном, Миша доедет за $40минут$

На это Мише ушло бы $3×100=300$ рублей.

Но в таком случае ему будет не хватать $300-250=50$ рублей.

Едя $1$ минуту на Обычном поезде вместо скоростного Миша экономит:

$3-1=2$ рубля так как мы тратим $1$ рубль вместо $3$.

Но теряет $\frac{60}{100} - \frac{60}{150} = \frac{20}{100} = 0,2$минут

Так как Мише надо сэкономить 50 рублей в таком случае Мише надо проехать $50÷2=25km$ на обычном но в таком случае Миша теряет:

$25×0,2=5$минут едя столько на обычном.

Значит наименьшее время с Ёлкина до Палкино это $40+5=45$минут.

Проверим, если Миша едет на обычном Шоссе $25km$ Тогда на скоростном:

$100-25=75km$

Тогда $(75×0,4)+(25×0,6)=30+15=45$минут ,а по рублям:

$(75×3)+(25×1)=225+25=250рублей$ что не противоречит не одному условию.