Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, I тур регионального этапа

На доске написаны четыре числа, ни одно из которых не равно 0. Если каждое из них умножить на сумму трёх остальных, получатся четыре одинаковых результата. Докажите, что квадраты записанных на доске чисел равны. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть записаны числа $a$, $b$, $c$ и $d$. По условию $a(b+c+d) = b(a+c+d) $, откуда $ (a-b)(c+d) = 0$. Аналогично, из равенства $c(a+b+d) = d(a+b+c) $ получаем $ (c-d)(a+b) = 0$. Поскольку или $c+d$, или $c-d$ не равно 0, то либо $a = b$, либо $a = -b$. В обоих случаях квадраты чисел $a$ и $b$ равны, откуда в силу произвольности выбора $a$ и $b$ и следует утверждение задачи.