Эйлер атындағы олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Тақтада төрт сан жазылған, олардың ешқайсысы нөлге тең емес. Егер әр санды қалған үш санның қосындысына көбейтсе, онда барлық төрт жағдайда да бірдей нәтиже шығады. Тақтадағы жазылған сандардың квадраттары тең екенін дәлелдеңіздер. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть записаны числа $a$, $b$, $c$ и $d$. По условию $a(b+c+d) = b(a+c+d) $, откуда $ (a-b)(c+d) = 0$. Аналогично, из равенства $c(a+b+d) = d(a+b+c) $ получаем $ (c-d)(a+b) = 0$. Поскольку или $c+d$, или $c-d$ не равно 0, то либо $a = b$, либо $a = -b$. В обоих случаях квадраты чисел $a$ и $b$ равны, откуда в силу произвольности выбора $a$ и $b$ и следует утверждение задачи.