қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, II тур дистанционного этапа
Задача №1. Четыре мальчика заглянули в коробку, где лежат цветные шарики. На вопрос, каких цветов шарики там лежат, они ответили так. Петя: «Красные, синие и зелёные». Вася: «Красные, синие и жёлтые». Коля: «Красные, жёлтые и зелёные». Миша: «Жёлтые, зелёные и синие». Могло ли случиться, что каждый из мальчиков один цвет назвал верно, а два — неверно?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Докажите, что если $a+b+c+d = 0$ и $ab+cd+ac+bc+ad+bd = 0$, то $a = b = c = d = 0.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC$, три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. По окружности красным карандашом записали 49 различных натуральных чисел, меньших 100. Между каждыми двумя соседними красными числами записали синим их наибольший общий делитель. Могло ли случиться, что все синие числа различны?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной палочки.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)