Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, II тур дистанционного этапа

Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной палочки.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Упорядочим части по длине: $a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_{15}.$ По неравенству треугольника длина каждой части не меньше суммы длин любых двух более коротких частей. Поэтому при любом $k \le 13$ имеем $a_k \ge a_{k+1}+a_{k+2} \ge 2a_{k+2}$, откуда $a_{k+2} \le a_{k}/2.$ Отсюда получаем: $a_3+a_5+\ldots+a_{15} \le a_3+a_{3}/2+\ldots+a_{3}/2^6 < 2a_3,$ $a_2+a_4+\ldots+a_{14} \le a_2+a_{2}/2+\ldots+a_{2}/2^6 < 2a_2.$ Следовательно, $a_2+a_3+\ldots+a_{14}+a_{15} < 2a_2+2a_3 \le 2a_1,$ откуда $a_1+a_2+\ldots+a_{14}+a_{15} < 3a_1,$ что и требовалось доказать.