2 тур

Ешқандай үш бөліктен үшбұрыш құрауға болмайтындай, таяқ 15 таяқшаға бөлінген. Таяқшалардың арасынан, бастапқы таяқтың үштен бір бөлігінен ұзын болатын таяқша табылатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Упорядочим части по длине: $a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_{15}.$ По неравенству треугольника длина каждой части не меньше суммы длин любых двух более коротких частей. Поэтому при любом $k \le 13$ имеем $a_k \ge a_{k+1}+a_{k+2} \ge 2a_{k+2}$, откуда $a_{k+2} \le a_{k}/2.$ Отсюда получаем: $a_3+a_5+\ldots+a_{15} \le a_3+a_{3}/2+\ldots+a_{3}/2^6 < 2a_3,$ $a_2+a_4+\ldots+a_{14} \le a_2+a_{2}/2+\ldots+a_{2}/2^6 < 2a_2.$ Следовательно, $a_2+a_3+\ldots+a_{14}+a_{15} < 2a_2+2a_3 \le 2a_1,$ откуда $a_1+a_2+\ldots+a_{14}+a_{15} < 3a_1,$ что и требовалось доказать.