Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур дистанционного этапа

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD = AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE = AC$. Какой отрезок длиннее — $EC$ или $AC?$ ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Ответ: AC>EC

1) Начнем рассуждение с углов в равнобедренном треугольнике. Пусть $\angle BAC$ = $\angle BCA$ = $\alpha$, а $\angle BAD$ = $\beta$, исходя из этого, $\angle DAC$ = $\alpha$ - $\beta$ = $\angle DAC$.

И так как $\angle DCA$ = $\angle BCA$ = $\alpha$, то напротив стороны AC в $\triangle DCA$ лежит угол равный $\alpha$ - $\beta$, а в $\triangle ABC$ напротив AC лежит угол равный 180 - 2$\alpha$

2) $\angle DEC$ = $\angle DCE$, а они оба равны $\frac{180-\alpha+\beta}{2}$, т.е EC лежит напротив угла 180-2($\alpha$-$\beta$), который меньше угла, который лежит напротив стороны AC. Тем самым, АС>EC

углы А и С равны у .Сторона ВС больше ДС следовательно угол А больше угла В Угол АДС равен (90-у)/2 что меньше у. Угол ДСЕ равен (45+у)/4, он больше угла ЕДС. Поэтому ЕС меньше ДС , ДС=АС. Ответ АС