Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур дистанционного этапа

При каком наибольшем натуральном $k$ клетки таблицы $5\times 5$ можно заполнить нулями и единицами (в каждой клетке должно стоять ровно одно число) так, чтобы нашлись $k$ строк, в каждой из которых сумма чисел не меньше 3, и $k$ столбцов, в каждом из которых сумма чисел не больше 2? ( И. Рубанов, О. Нечаева )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. При $k = 4.$
Решение. При $k = 5$ таблицу искомым образом заполнить нельзя, так как при счете суммы чисел в таблице сложением сумм по строкам получается, что она не меньше $3\cdot 5 = 15,$ а при счете той же суммы по столбцам получается, что она не больше $2\cdot 5 = 10.$
    Пример заполнения таблицы, удовлетворяющего условию задачи при $k = 4,$ приведен на рисунке.