Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

При каких $n$, больших 2, можно расставить в клетках таблицы размером $n\times n$ крестики и нолики (в каждой клетке — один знак) так, чтобы в каждом столбце таблицы, кроме одного, крестиков было больше, чем ноликов, а в каждой строке таблицы, кроме одной, ноликов было больше, чем крестиков? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Ответ:для всех нечетных $n$

Решение:Пусть $n=2k$

Тогда в $2k-1$ столбцов будет хотя бы $k+1$ крестиков.Тогда крестиков будет $2k^2+k-1$и с ноликами также $2k^2+k-1$ их сумма $4k^2+2k-2$ который больше $4k^2$противоречие. A если для нечетных то возьмем $n=2k+1$ тогда в левом верхнем углу возьмем квадрат $2k \times 2k$ поделим на 4 квадрата размерами $k \times k$ и в этом квадрате $2k \times 2k$ левый верхний и правый низ квадраты их заполним крестиками а левый низкий и правый вверх заполним ноликами и правый крайний столбец заполним ноликами а низкий крайний заполним крестиками кроме последнего