Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

При каких $n$, больших 2, можно расставить в клетках таблицы размером $n\times n$ крестики и нолики (в каждой клетке — один знак) так, чтобы в каждом столбце таблицы, кроме одного, крестиков было больше, чем ноликов, а в каждой строке таблицы, кроме одной, ноликов было больше, чем крестиков? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Ответ:для всех нечетных n

Решение:Пусть n=2k

Тогда в 2k-1 столбцов будет хотя бы k+1 крестиков тоесть крестиков будет 2k^2+k-1 и с ноликами также 2k^2+k-1 их сумма 4k^2+2k-2 который больше 4k^2 противоречие а если для нечетных то возьмем n=2k+1 тогда в левом верхнем углу возьмем квадрат 2kx2k поделим на 4 квадрата размерами kxk и в этом квадрате 2k*2k левый верхний и правый низ квадраты их заполним крестиками а левый низкий и правый вверх заполним ноликами и правый крайний столбец заполним ноликами а низкий крайний заполним крестиками кроме последнего