Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа


В треугольнике ABC, у которого угол B меньше 120 градусов, медиана BD короче половины стороны AB. Докажите, что эта медиана длиннее половины стороны BC. ( И. Рубанов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Допустим, что BDBC/2. Обозначим через E середину стороны AB. В треугольнике BDE BE=AB/2, DE=BC/2. Значит, BD — наименьшая сторона треугольника BDE, а угол BED — наименьший угол в этом треугольнике. Следовательно, BED<60 (равняться 60 он не может, так как тогда треугольник BDE был бы равносторонним, что противоречит неравенству BD<BE), откуда ABC=ABD+CBD=EBD+BDE=180BED>18060=120. Противоречие.

пред. Правка 3   3
2 года назад #

Обозначим через E середину стороны AB.Обозначим через Kсередину стороны BC.DK,DE-Средняя линия ED=BK.EB=DK EBKD-параллелограмм ABC=EDK.ABC+EDK<240.DEB=BKD>60.EB>DB EDB>DEB>60. BDK<60<DKB BK<BD