Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$, у которого угол $B$ меньше 120 градусов, медиана $BD$ короче половины стороны $AB$. Докажите, что эта медиана длиннее половины стороны $BC$. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Допустим, что $BD \le BC/2$. Обозначим через $E$ середину стороны $AB$. В треугольнике $BDE$ $BE = AB/2$, $DE = BC/2$. Значит, $BD$ — наименьшая сторона треугольника $BDE$, а угол $BED$ — наименьший угол в этом треугольнике. Следовательно, $\angle BED < 60^\circ$ (равняться $60^\circ$ он не может, так как тогда треугольник $BDE$ был бы равносторонним, что противоречит неравенству $BD < BE$), откуда $\angle ABC = \angle ABD+\angle CBD = \angle EBD+\angle BDE = 180^\circ-\angle BED > 180^\circ-60^\circ = 120^\circ$. Противоречие.

Обозначим через $E $ середину стороны $AB $.Обозначим через $K $середину стороны $BC$.$DK $,$DE $-Средняя линия $ED=BK$.$EB=DK $ $EBKD$-параллелограмм $\angle ABC$=$\angle EDK$.$\angle ABC$+$\angle EDK$<240.$\angle DEB$=$\angle BKD$>60.$EB>DB$ $\Rightarrow$ $\angle EDB$>$\angle DEB$>60. $\angle BDK$<60<$\angle DKB$ $\Rightarrow$ $BK<BD$