Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа
В треугольнике ABC, у которого угол B меньше 120 градусов, медиана BD короче половины стороны AB. Докажите, что эта медиана длиннее половины стороны BC.
(
И. Рубанов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Допустим, что BD≤BC/2. Обозначим через E середину стороны AB. В треугольнике BDE BE=AB/2, DE=BC/2. Значит, BD — наименьшая сторона треугольника BDE, а угол BED — наименьший угол в этом треугольнике. Следовательно, ∠BED<60∘ (равняться 60∘ он не может, так как тогда треугольник BDE был бы равносторонним, что противоречит неравенству BD<BE), откуда ∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠EBD+∠BDE=180∘−∠BED>180∘−60∘=120∘. Противоречие.
Обозначим через E середину стороны AB.Обозначим через Kсередину стороны BC.DK,DE-Средняя линия ED=BK.EB=DK EBKD-параллелограмм ∠ABC=∠EDK.∠ABC+∠EDK<240.∠DEB=∠BKD>60.EB>DB ⇒ ∠EDB>∠DEB>60. ∠BDK<60<∠DKB ⇒ BK<BD
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.